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在凸四边形 $ABCD$ 中，$BC=4$，$\angle ADC=60^\circ$，$\angle BAD=90^\circ$，四边形 $ABCD$ 的面积等于 $\dfrac{AB\cdot CD+BC\cdot AD}{2}$，则 $CD$ 的长（精确到小数点后 $1$ 位）为 \((\qquad)\)
A: $6.9$
B: $7.1$
C: $7.3$
D: 前三个答案都不对
【难度】
【出处】
2015年北京大学自主选拔录取考试
【标注】
  • 知识点
    >
    不等式
    >
    常用不等式
    >
    均值不等式
  • 知识点
    >
    三角
    >
    解三角形
    >
    三角形面积公式
  • 知识点
    >
    平面几何
    >
    平面几何中的常用知识
    >
    托勒密定理
【答案】
A
【解析】
设四边形 $ABCD$ 的面积为 $S$，直线 $AC,BD$ 的夹角为 $\theta$，则$$S=\dfrac{AC\cdot BD\cdot \sin \theta}{2}\leqslant\dfrac{AB\cdot CD+BC\cdot AD}{2}\cdot\sin\theta\leqslant \dfrac{AB\cdot CD+BC\cdot AD}{2}, $$由题意，$S=\dfrac{AB\cdot CD+BC\cdot AD}{2}$，所以 $A,B,C,D$ 四点共圆，且 $AC\perp BD$．
故 $CD=4\sqrt{3}\approx 6.9 $，选A．
题目 答案 解析 备注
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