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设 $f(x)$ 为实函数，满足 $f(c)=c$ 的实数 $c$ 称为 $f(x)$ 的不动点．设 $f(x)=a^x$，其中 $a>0$ 且 $a\ne 1$．若 $f(x)$ 恰有两个互不相同的不动点，则 $a$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
A: $0<a<1$
B: $1<a<\mathrm{e}$
C: $1<a<\sqrt{\mathrm{e}}$
D: $1<a<\mathrm{e}^{\frac{1}{\mathrm{e}}}$
【难度】
【出处】
2015年北京大学生命科学冬令营试卷数学部分
【标注】
  • 知识点
    >
    函数
    >
    迭代函数
    >
    不动点
  • 知识点
    >
    微积分初步
    >
    利用导数研究函数的性质
    >
    利用导数研究函数的零点
  • 方法
    >
    代数处理
    >
    分离变量法
【答案】
D
【解析】
题意即 $a^x=x$ 有两个根，两边取对数得 $\ln a=\dfrac{\ln x}{x}$ 有两个不相等的根，考虑函数 $g(x)=\dfrac{\ln x}{x}$，求导知 $g(x)$ 在 $(0,{\rm e}]$ 上单调递增，在 $[\rm{e},+\infty)$ 上单调递减，$g(x)_{\max}=g(\rm e)=\dfrac 1{\rm e}$，且当 $x\in({\rm e},+\infty)$ 时，有 $g(x)\in\left(0,\dfrac{1}{\rm e}\right)$．所以当 $\ln a\in\left(0,\dfrac 1{\rm e}\right)$ 时，方程有两个根，对应 $f(x)$ 有两个不动点．
题目 答案 解析 备注
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