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实数 $x,y$ 满足 $1+\cos^2(2x+3y-1)=\dfrac{x^2+y^2+2(x+1)(1-y)}{x-y+1}$，则 $xy$ 的最小值是  \((\qquad)\)
A: $\dfrac15$
B: $\dfrac{1}{25}$
C: $1$
D: $5$
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛黑龙江省预赛
【标注】
  • 数学竞赛
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    不等式
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【答案】
B
【解析】
记等式右边为 $M$，分析题中等式，得\[1\leqslant1+\cos^2(2x+3y-1)\leqslant 2,\]于是\[M=\dfrac{1}{x-y+1}+(x-y+1)\geqslant2,\]因此有$$\begin{cases}x-y+1=1,\\2x+3y-1=k\pi,k\in\mathbb Z\end{cases}$$解得$$x=y=\dfrac{k\pi+1}{5},k\in\mathbb Z,$$所以 $xy$ 的最小值为 $\dfrac{1}{25}$．
题目 答案 解析 备注
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