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设函数 $f(x)=\dfrac 1x$，$g(x)=ax^2+bx$（$a,b\in\mathbb R\land a\ne 0$）．若 $y=f(x)$ 的图象与 $y=g(x)$ 的图象有且仅有两个不同的公共点 $A(x_1,y_1)$ 和 $B(x_2,y_2)$，则下列判断正确的是 \((\qquad)\)
A: 当 $a<0$ 时，$x_1+x_2<0$，$y_1+y_2>0$
B: 当 $a<0$ 时，$x_1+x_2>0$，$y_1+y_2<0$
C: 当 $a>0$ 时，$x_1+x_2<0$，$y_1+y_2<0$
D: 当 $a>0$ 时，$x_1+x_2>0$，$y_1+y_2>0$
【难度】
【出处】
2012年高考山东卷（理）
【标注】
  • 知识点
    >
    微积分初步
    >
    利用导数研究函数的性质
    >
    利用导数研究函数的零点
  • 方法
    >
    代数处理
    >
    分离变量法
【答案】
B
【解析】
让两边分别只含参数和变量，考虑方程$$a=\dfrac{1}{x^3}-\dfrac bx,$$令 $t=\dfrac 1x$，并记右侧函数为$$h(t)=t^3-bt,$$因此对应的函数图象如图．于是当 $a>0$ 时，$y_1+y_2=t_1+t_2>0$，而$$x_1+x_2=\dfrac 1{t_1}+\dfrac 1{t_2}=\dfrac{t_1+t_2}{t_1t_2}<0.$$当 $a<0$ 时，$y_1+y_2=t_1+t_2<0$，而$$x_1+x_2=\dfrac 1{t_1}+\dfrac 1{t_2}=\dfrac{t_1+t_2}{t_1t_2}>0,$$因此正确的答案是 B．
题目 答案 解析 备注
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