由题意，当 $[x]=k$ 时，$$x\in[k,k+1),k\in \mathbb{Z}.$$用作差法去比较 $\{a\}$ 与 $\left\{a+\dfrac 12\right\}$ 的大小关系：$$\{a\}-\left\{a+\dfrac 12\right\}=\left(a-[a]\right)-\left(a+\dfrac 12-\left[a+\dfrac 12\right]\right )=\left[a+\dfrac 12\right ]-[a]-\dfrac 12.$$因为 $a\in(0,1)$，所以$$[a]=0.$$因为 $a+\dfrac 12\in\left(\dfrac 12,\dfrac 32\right )$，所以$$\left[a+\dfrac 12\right]=\begin{cases} 0,\dfrac 12<a+\dfrac 12<1,\\1,1\leqslant a+\dfrac 12<\dfrac 32.\end{cases}$$由以上三式得$$\{a\}-\left\{a+\dfrac 12\right \}=\begin{cases} -\dfrac 12,0<a<\dfrac 12,\\\dfrac 12,\dfrac 12\leqslant a<1.\end{cases}$$因此 $\{a\}$ 与 $\left\{a+\dfrac 12\right\}$ 的大小关系不确定．