函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb R$，若 $f(x+1)$ 与 $f(x-1)$ 都是奇函数，则 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2009年湖南省高中数学竞赛
【标注】
【答案】
C
【解析】
因为 $f(x+1)$ 是奇函数，所以$$f(x+1)=-f(-x+1),f(x)=-f(-x+2).\cdots \text{ ① }$$同理，由 $f(x-1)$ 是奇函数，可得$$f(x)=-f(-x-2).\cdots \text{ ② }$$由 ①② 可得，$$f(-x+2)=f(-x-2),$$所以$$f(x+2)=f(x-2) , f(x+4)=f(x),$$即 $f(x)$ 是周期为 $4$ 的函数．
又因为 $f(x-1)$ 是奇函数，所以 $f(x+3)$ 是奇函数．
又因为 $f(x-1)$ 是奇函数，所以 $f(x+3)$ 是奇函数．
题目
答案
解析
备注
