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若定义在 $\mathbb R$ 上的函数 $f\left(x\right)$ 满足 $f\left(0\right)=-1$，其导函数 $f'\left(x\right)$ 满足 $f'\left(x\right)>k>1$，则下列结论中一定错误的是 \((\qquad)\)
A: $f\left(\dfrac 1k\right)<\dfrac 1k$
B: $f\left(\dfrac 1k\right)>\dfrac 1{k-1}$
C: $f\left(\dfrac 1{k-1}\right)<\dfrac 1{k-1}$
D: $f\left(\dfrac 1{k-1}\right)>\dfrac k{k-1}$
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
C
【解析】
导函数 $f'(x)$ 满足 $f'(x)>k$，这提示我们构造函数$$g(x)=f(x)-kx,$$于是 $g(0)=-1$，且 $g(x)$ 单调递增．
由于 $\dfrac{1}{k-1}>\dfrac{1}{k}>0$，于是有$$g\left(\dfrac{1}{k-1}\right)>g\left(\dfrac 1k\right)>g(0),$$整理知选项 C 的结论一定错误．
题目 答案 解析 备注
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