某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为 \((\qquad)\) 注：材料的利用率是新工件的体积与原工件的体积之比．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
A
【解析】
这是一个典型的组合体问题，解决组合体问题的关键是选择合适的截面去分析相关的几何量，通常我们会选择包含元素最丰富的面作为研究的截面．
在本题中，正方体的下底面在圆锥的底面内，而上底面仅有四个顶点在圆锥的侧面内．因此我们选择包含圆锥的高的正方体的对角面作为分析对象，如图．
根据相似关系，不难求得 $a=\dfrac{2\sqrt 2}3$，因此材料的利用率为$$\dfrac{\left(\dfrac{2\sqrt 2}3\right)^3}{\dfrac 13\cdot\pi\cdot 1^2\cdot 2\sqrt 2}=\dfrac{8}{9\pi}.$$
在本题中，正方体的下底面在圆锥的底面内，而上底面仅有四个顶点在圆锥的侧面内．因此我们选择包含圆锥的高的正方体的对角面作为分析对象，如图．
根据相似关系，不难求得 $a=\dfrac{2\sqrt 2}3$，因此材料的利用率为$$\dfrac{\left(\dfrac{2\sqrt 2}3\right)^3}{\dfrac 13\cdot\pi\cdot 1^2\cdot 2\sqrt 2}=\dfrac{8}{9\pi}.$$
题目
答案
解析
备注
