已知函数 $f(x)=\begin{cases}\dfrac{2x+1}{x^2},&x<-\dfrac 12,\\\ln\left(x+1\right),&x\geqslant -\dfrac 12,\end{cases}$ 函数 $g(x)=x^2-4x-4$．设 $b$ 为实数，若存在实数 $a$，使 $f(a)+g(b)=0$，则 $b$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2014年卓越联盟自主招生试题
【标注】
【答案】
A
【解析】
先求 $f(x)$ 的值域：当 $x<-\dfrac 12$ 时，$\dfrac 1x\in (-2,0)$，从而$$\dfrac {2x+1}{x^2}=\left(\dfrac 1x+1\right)^2-1\in [-1,0).$$当 $x\geqslant -\dfrac 12$ 时，$\ln(x+1)\in[-\ln 2,+\infty)$，综上知 $f(x)\in[-1,+\infty)$．从而有$$g(b)=b^2-4b-4=-f(a)\leqslant 1,$$解得 $-1\leqslant b\leqslant 5$．
题目
答案
解析
备注
