可以构造方程 $\left( {{x^2} - 2} \right)\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^3} + 2} \right] = 0$，于是次数不超过 $5$．
假设有 $3$ 次方程$$\left( {x - \sqrt 2 } \right)\left[ {x - \left( {1 - \root 3 \of 2 } \right)} \right]\left( {x - m} \right) = 0,$$满足要求，则 $m + \sqrt 2 + 1 - \root 3 \of 2 $，$\sqrt 2 \cdot \left( {1 - \root 3 \of 2 } \right) \cdot m$ 均为有理数．
设 $m = p - \sqrt 2 + \root 3 \of 2 $，$p$ 为有理数，则$$\sqrt 2 \cdot \left( {1 - \root 3 \of 2 } \right) \cdot m = \left( {{2^{\frac{1}{2}}} - {2^{\frac{5}{6}}}} \right)\left( {p - {2^{\frac{1}{2}}} + {2^{\frac{1}{3}}}} \right) = \left( {{2^{\frac{1}{2}}} - {2^{\frac{5}{6}}}} \right)p - 2 + {2^{\frac{5}{6}}} + {2^{\frac{4}{3}}} - {2^{\frac{7}{6}}}.$$不可能为有理数．
因此次数不小于 $4$．