若 $\begin{cases}{x^2} = 2y + 5\\ {y^2} = 2x + 5 \end{cases}$，$x \ne y$，则 ${x^3} - 2{x^2}{y^2} + {y^3}$ 的值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2013年北京大学等三校联考自主招生保送生测试
【标注】
【答案】
D
【解析】
方程组两式分别相加，相减得$$\begin{cases} {x^2} + {y^2} = 2\left( {x + y} \right) + 10 \\{x^2} - {y^2} = 2\left( {y - x} \right) \end{cases},$$考虑到 $x \ne y$，有$$\begin{cases} x + y = - 2 \\ {x^2} + {y^2} = 6\end{cases},$$即$$\begin{cases} x + y = - 2,\\ xy = - 1 \end{cases}.$$所以\[\begin{split}{x^3} - 2{x^2}{y^2} + {y^3} &= \left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right) - 2{\left( {xy} \right)^2} \\&= - 2 \cdot \left( {6 + 1} \right) - 2{\left( { - 1} \right)^2}\\& = - 16.\end{split}\]
题目
答案
解析
备注
