复数 $A$、$B$、$C$ 的模都等于 $1$，且 $A + B + C \ne 0$，则复数 $\dfrac{{AB + BC + CA}}{{A + B + C}}$ 的模长等于 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2013年北京大学等三校联考自主招生保送生测试
【标注】
【答案】
B
【解析】
一方面\[\begin{split}\left( {A + B + C} \right) \cdot \overline {A + B + C} & = \left( {A + B + C} \right) \cdot \left( {\overline A + \overline B + \overline C } \right)\\&= 3 + A\overline B + A\overline C + B\overline A +B\overline C + C\overline A + C\overline B.\end{split}\]另一方面\[\begin{split} \left( {AB + BC + CA} \right) \cdot \overline {AB + BC + CA} & = \left( {AB + BC + CA} \right) \cdot \left( {\overline {AB} + \overline {BC} + \overline {CA} } \right)\\& = 3 + A\overline B + A\overline C + B\overline A + B\overline C + C\overline A + C\overline B \end{split}\]因此复数 $\dfrac{{AB + BC + CA}}{{A + B + C}}$ 中分子与分母的模相等．
题目
答案
解析
备注
