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关于 $x$ 的方程 $\sqrt {x + 11 - 6\sqrt {x + 2} } + \sqrt {x + 27 - 10\sqrt {x + 2} } = 1$ 的实根的个数为 \((\qquad)\)
A: $1 $
B: $3 $
C: $0 $
D: 无穷多
【难度】
【出处】
2012年北京大学等十三校联考自主招生
【标注】
  • 知识点
    >
    代数变形
    >
    代数式的形
    >
    配方
  • 知识点
    >
    不等式
    >
    常用不等式
    >
    绝对值不等式
【答案】
C
【解析】
因为\[\begin{split}\sqrt {x + 11 - 6\sqrt {x + 2} } + \sqrt {x + 27 - 10\sqrt {x + 2} } &= \sqrt {{{\left( {\sqrt {x + 2} - 3} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt {x + 2} - 5} \right)}^2}} \\&= \left| {\sqrt {x + 2} - 3} \right| + \left| {\sqrt {x + 2} - 5} \right| \\& \geqslant \left| {5 - 3} \right| = 2.\end{split}\]所以原方程无解．
题目 答案 解析 备注
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