方程 $\left( {{x^2} - 2x + m} \right)\left( {{x^2} - 2x + n} \right) = 0$ 的 $4$ 个根可以构成首项为 $\dfrac{1}{4}$ 的等差数列，则 $\left| {m - n} \right|$ 的值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2012年北京大学等十三校联考自主招生
【标注】
【答案】
C
【解析】
设方程 ${x^2} - 2x + m = 0$ 的两个根分别为 ${x_1}, {x_2}$，方程 ${x^2} - 2x + n = 0$ 的两个根分别为 ${x_3} , {x_4}$，则 ${x_1} + {x_2} + {x_3} + {x_4} = 2 + 2 = 4$，所以等差数列的公差为 $\dfrac{1}{2}$．
于是这四个根分别为 $\dfrac{1}{4} ,\dfrac{3}{4} , \dfrac{5}{4} , \dfrac{7}{4}$．因此$$\left| {m - n} \right| = \left| {\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{7}{4} - \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{5}{4}} \right| = \dfrac{1}{2}.$$
于是这四个根分别为 $\dfrac{1}{4} ,\dfrac{3}{4} , \dfrac{5}{4} , \dfrac{7}{4}$．因此$$\left| {m - n} \right| = \left| {\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{7}{4} - \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{5}{4}} \right| = \dfrac{1}{2}.$$
题目
答案
解析
备注
