从 $1,2,3,\cdots,2012$ 中选出 $n$ 个数，使得其中任意两个数的差都不能整除这两个数的和，则 $n$ 的最大值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2012年北京大学等十三校联考自主招生
【标注】
【答案】
A
【解析】
取 $1 ,4, 7, \cdots , 2011$，共 $671$ 个数，则任意两数之和均模 $3$ 余 $2$，任意两数之差均模 $3$ 余 $0$，符合题意；下面证明不存在 $672$ 个数的取法：
将 $\left\{ {1,2 , \cdots ,2012} \right\}$ 分成 $671$ 个集合 $\left\{ {1,2,3} \right\}$，$\left\{ {4, 5 , 6} \right\}$，$\cdots$，$\left\{ {2011 ,2012} \right\}$，如果可取 $672$ 个数，那么必然有两个数同属某一集合，此时这两数之差为 $1$ 或 $2$．
若两数之差为 $1$，那么显然不符合要求；
若两数之差为 $2$，那么这两数同为奇数或同为偶数，它们的和为偶数，亦不符合要求．
因此不存在 $672$ 个数的取法．综上，最多能取 $671$ 个数．
将 $\left\{ {1,2 , \cdots ,2012} \right\}$ 分成 $671$ 个集合 $\left\{ {1,2,3} \right\}$，$\left\{ {4, 5 , 6} \right\}$，$\cdots$，$\left\{ {2011 ,2012} \right\}$，如果可取 $672$ 个数，那么必然有两个数同属某一集合，此时这两数之差为 $1$ 或 $2$．
若两数之差为 $1$，那么显然不符合要求；
若两数之差为 $2$，那么这两数同为奇数或同为偶数，它们的和为偶数，亦不符合要求．
因此不存在 $672$ 个数的取法．综上，最多能取 $671$ 个数．
题目
答案
解析
备注
