向量 $\overrightarrow a \ne \overrightarrow e $，$\left| {\overrightarrow e } \right| = 1$．若 $\forall t \in {\mathbb{R}}$，$\left| {\overrightarrow a - t\overrightarrow e } \right| \geqslant \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow e } \right|$，则 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2012年清华大学（高水平大学）自主选拔学业能力测试
【标注】
【答案】
C
【解析】
题意 $\forall t \in {\mathbb{R}},\left| {\overrightarrow a - t\overrightarrow e } \right| \geqslant \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow e } \right|$ 等价于$$\forall t \in {\mathbb{R}},\left( {\overrightarrow a - t\overrightarrow e } \right)\cdot\left( {\overrightarrow a - t\overrightarrow e } \right) \geqslant \left( {\overrightarrow a + \overrightarrow e } \right)\cdot\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow e } \right),$$整理得$$\forall t \in {\mathbb{R}},{t^2} - 2\overrightarrow a \cdot \overrightarrow e t - 2\overrightarrow a \cdot \overrightarrow e - 1 \geqslant 0,$$也就是$$\Delta = {\left( {2\overrightarrow a \cdot \overrightarrow e } \right)^2} + 4\left( {2\overrightarrow a \cdot \overrightarrow e + 1} \right) \leqslant 0,$$解得 $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow e = - 1$，再结合选项得出选C．
题目
答案
解析
备注
