数 $\left(3+\sqrt 8\right)^{2n}$（$n\in \mathbb N^*$，且 $n\geqslant 2009$），设 $[x]$ 为 $x$ 的整数部分，则 $\left[\left(3+\sqrt 8\right)^{2n}\right]$ 除以 $8$ 的余数是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛新疆维吾尔自治区预赛
【标注】
【答案】
A
【解析】
因为\[\begin{split}&{\begin{split}x&=\left(3+\sqrt 8\right)^{2n}\\&={\rm C}_{2n}^0\cdot 3^{2n}+{\rm C}_{2n}^1\cdot 3^{2n-1}\cdot\sqrt 8+{\rm C}_{2n}^2\cdot 3^{2n-2}\cdot \left(\sqrt 8\right)^2+\cdots \\&=A+\sqrt 8B,(A,B\in \mathbb N^*),\end{split}}\\&{\begin{split}y&=\left(3-\sqrt 8\right)^{2n}\\&={\rm C}_{2n}^0\cdot 3^{2n}-{\rm C}_{2n}^1\cdot 3^{2n-1}\cdot \sqrt 8+{\rm C}_{2n}^2\cdot 3^{2n-2}\cdot \left(\sqrt 8\right)^2+\cdots\\&=A-\sqrt 8 B,(A,B\in \mathbb N^*).\end{split}}\end{split}\]所以 $x+y=2A$，故$$x=2A-y=(2A-1)+(1-y),$$其中 $0<1-y<1$，于是 $[x]=2A-1$，从而\[\begin{split}2A-1&=x+y-1\\&=2\left({\rm C}_{2n}^0\cdot 3^{2n}+{\rm C}_{2n}^2\cdot 3^{2n-2}\cdot \left(\sqrt 8\right)^2+{\rm C}_{2n}^4\cdot 3^{2n-4}\cdot \left(\sqrt 8\right)^4+\cdots \right)-1\\&\equiv 2\cdot \left(3^{2n}\right)-1 ({\rm mod} 8)\\&\equiv 2\cdot (8+1)^n-1 ({\rm mod } 8)\\&\equiv 1 ({\rm mod} 8),\end{split}\]所以 $[x]$ 除以 $8$ 的余数是 $1$．
题目
答案
解析
备注
