设正整数 $n$ 可以等于 $4$ 个不同的正整数的倒数之和，则这样的 $n$ 的个数是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2011年复旦大学优秀高中生文化水平选拔测试
【标注】
【答案】
B
【解析】
设 $n=\dfrac 1a+\dfrac 1b+\dfrac 1c+\dfrac 1d$，其中 $a<b<c<d$，且 $a,b,c,d\in\mathbb{N}^*$，则有$$a\geqslant 1,b\geqslant 2,c\geqslant 3,d\geqslant 4,$$从而有$$n\leqslant 1+\dfrac 12+\dfrac 13+\dfrac 14=\dfrac {25}{12},$$所以 $n$ 只可能为 $1,2$，又有$$\dfrac 1{12}+\dfrac 16+\dfrac 14+\dfrac 12=1,\dfrac 16+\dfrac 13+\dfrac 12+1=2,$$所以 $n$ 有两个．
题目
答案
解析
备注
