椭圆 $\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = 1$ 上的点到圆 ${x^2} + {\left( {y - 6} \right)^2} = 1$ 上的点的距离的最大值是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2011年复旦大学优秀高中生文化水平选拔测试
【标注】
【答案】
A
【解析】
若曲线 $F$ 与半径为 $r$ 的圆相离，$F$ 上的点到圆心的距离的最大值和最小值分别是 $D$、$d$，则 $F$ 上的点到圆上的点的距离的最大值是 $D + r$，最小值为 $d - r$．
设椭圆上一点的坐标为 $P \left({{x_0},{y_0}} \right)$，则其到圆心 $ M $ 的距离为 $ PM $，则\[\begin{split}P{M^2} &= {x_0}^2 + {\left( {{y_0} - 6} \right)^2}\\& = 25\left( {1 - \dfrac{{{y_0}^2}}{{16}}} \right) + {y_0}^2 - 12{y_0} + 36\\& = - \dfrac{9}{{16}}{y_0}^2 - 12{y_0} + 61,\end{split}\]对称轴为 $ {y_0} = - \dfrac{{32}}{3} $，而 $ {y_0} \in \left[ { - 4,4} \right] $，所以当 $ {y_0} = - 4 $ 时，$ PM $ 取得最大值为 $ 10 $．
于是所求的最大值为 $ 10 + 1 = 11$．
设椭圆上一点的坐标为 $P \left({{x_0},{y_0}} \right)$，则其到圆心 $ M $ 的距离为 $ PM $，则\[\begin{split}P{M^2} &= {x_0}^2 + {\left( {{y_0} - 6} \right)^2}\\& = 25\left( {1 - \dfrac{{{y_0}^2}}{{16}}} \right) + {y_0}^2 - 12{y_0} + 36\\& = - \dfrac{9}{{16}}{y_0}^2 - 12{y_0} + 61,\end{split}\]对称轴为 $ {y_0} = - \dfrac{{32}}{3} $，而 $ {y_0} \in \left[ { - 4,4} \right] $，所以当 $ {y_0} = - 4 $ 时，$ PM $ 取得最大值为 $ 10 $．
于是所求的最大值为 $ 10 + 1 = 11$．
题目
答案
解析
备注
