设 $n$ 为一个正整数，记 $P\left( n \right) = {1^4} + {2^4} + \cdots + {n^4}$，则 $P\left( n \right)$ 是 $n$ 的一个多项式．下面结论正确的是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2011年复旦大学优秀高中生文化水平选拔测试
【标注】
【答案】
D
【解析】
因为$${k^5} - {\left( {k - 1} \right)^5} = 5{k^4} - 10{k^3} + 10{k^2} + 5k + 1,$$所以$${k^4} = \dfrac{1}{5}\left[ {{k^5} - {{\left( {k - 1} \right)}^5}} \right] + 2{k^3} - 2{k^2} - k - \dfrac{1}{5}.$$对 $k = 1,2,3, \cdots ,n$ 求和，有$$P\left( n \right) = \dfrac{1}{5}{n^5} + 2 \cdot \dfrac{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{4} - 2 \cdot \dfrac{1}{6}n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right) + \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} - \dfrac{n}{5},$$最高项系数为 $\dfrac{1}{5}$，常数项为 $0$，$P\left( n \right)$ 是 $n$ 的 $5$ 次多项式，$4$ 次项系数为 $\dfrac{1}{2}$．
题目
答案
解析
备注
