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设 $a$ 为正数，$f\left( x \right) = {x^3} - 2a{x^2} + {a^2}$，若 $f\left( x \right)$ 在区间 $\left( {0,a} \right)$ 上大于 $0$，则 $a$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
A: $\left( {0,1} \right]$
B: $\left( {0,1} \right)$
C: $\left( {1, + \infty } \right)$
D: $\left[ {1, + \infty } \right)$
【难度】
【出处】
2011年复旦大学优秀高中生文化水平选拔测试
【标注】
  • 知识点
    >
    微积分初步
    >
    利用导数研究函数的性质
    >
    利用导数研究函数的单调性
  • 题型
    >
    不等式
    >
    恒成立与存在性问题
【答案】
A
【解析】
当 $x \in \left( {0,a} \right)$ 时，$$f'\left( x \right) = 3{x^2} - 4ax = x\left( {3x - 4a} \right) < 0,$$所以 $f\left( x \right)$ 在 $\left( {0,a} \right)$ 上单调递减．因此$$f\left( a \right) = {a^2}\left( {1 - a} \right) \geqslant 0,$$解得$$0 < a \leqslant 1.$$
题目 答案 解析 备注
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