设有 $4$ 个数的数列为 ${a_1},{a_2},{a_3},{a_4}$，前 $3$ 个数构成一个等比数列，其和为 $k$，后 $3$ 个数构成一个等差数列，其和为 $9$，且公差非零．对于任意固定的 $k$，若满足条件的数列的个数大于 $1$，则 $k$ 应满足 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2011年复旦大学优秀高中生文化水平选拔测试
【标注】
【答案】
D
【解析】
设这 $4$ 个数为$$\dfrac{{{{\left( {3 - d} \right)}^2}}}{3},3 - d,3,3 + d.$$于是$$\dfrac{{{{\left( {3 - d} \right)}^2}}}{3} + 3 - d + 3 = k,$$整理得$${d^2} - 9d + 27 - 3k = 0.$$公比 $q = \dfrac{3}{{3 - d}}$ 不唯一，因此上述方程有两个不同实数解，且 $d \ne 3$，$d \ne 0$．
而 $d \ne 3 \Leftrightarrow k \ne 3 $，$ d \ne 0 \Leftrightarrow k \ne 9$，$$ \Delta = 81 - 4\left({27 - 3k} \right)= 12k - 27 > 0.$$所以 $k$ 应满足 $12k > 27$，且 $k \ne 3,9$．
而 $d \ne 3 \Leftrightarrow k \ne 3 $，$ d \ne 0 \Leftrightarrow k \ne 9$，$$ \Delta = 81 - 4\left({27 - 3k} \right)= 12k - 27 > 0.$$所以 $k$ 应满足 $12k > 27$，且 $k \ne 3,9$．
题目
答案
解析
备注
