设有复数 ${\omega _1} = - \dfrac{1}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}{\mathrm {i}}$，${\omega _2} = \cos \dfrac{{2{\mathrm {\pi }}}}{5} + {\mathrm {i}}\sin \dfrac{{2{\mathrm {\pi }}}}{5}$，令 $\omega = {\omega _1}{\omega _2}$，则复数 $\omega + {\omega ^2} + \cdots + {\omega ^{2011}}$ $ = $ \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2011年复旦大学优秀高中生文化水平选拔测试
【标注】
【答案】
A
【解析】
因为$${\omega _1} = \cos \dfrac{{2{\mathrm {\pi }}}}{3} + {\mathrm {i}}\sin \dfrac{{2{\mathrm {\pi }}}}{3},$$所以$$\omega = \cos \left( {\dfrac{{2{\mathrm {\pi }}}}{3} + \dfrac{{2{\mathrm {\pi }}}}{5}} \right) + {\mathrm {isin}}\left( {\dfrac{{2{\mathrm {\pi }}}}{3} + \dfrac{{2{\mathrm {\pi }}}}{5}} \right) = \cos \dfrac{{16{\mathrm {\pi }}}}{{15}} + {\mathrm {i}}\sin \dfrac{{16{\mathrm {\pi }}}}{{15}}.$$因此 ${\omega ^{15}} = 1$，
于是\[\begin{split}\omega + {\omega ^2} + \cdots + {\omega ^{2011}} &= \dfrac{{\omega \left( {1 - {\omega ^{2011}}} \right)}}{{1 - \omega }}\\& = \dfrac{{\omega \left( {1 - {\omega ^{134 \times 15 + 1}}} \right)}}{{1 - \omega }} \\& = \omega. \end{split}\]
于是\[\begin{split}\omega + {\omega ^2} + \cdots + {\omega ^{2011}} &= \dfrac{{\omega \left( {1 - {\omega ^{2011}}} \right)}}{{1 - \omega }}\\& = \dfrac{{\omega \left( {1 - {\omega ^{134 \times 15 + 1}}} \right)}}{{1 - \omega }} \\& = \omega. \end{split}\]
题目
答案
解析
备注
