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给定三个向量 $\overrightarrow{v_1}=(1,0,1)$，$\overrightarrow{v_2}=(1,1,0)$，$\overrightarrow{v_3}=(1,1,k^2+k-1)$，其中 $k$ 是一个实数．若存在非零向量同时垂直于这三个向量，则 $k$ 的取值为 \((\qquad)\)
A: $\dfrac {1+\sqrt 5}2,\dfrac {1-\sqrt 5}2$
B: $\dfrac {-1+\sqrt 5}2,\dfrac {-1-\sqrt 5}2$
C: $\dfrac {-1+\sqrt 5}2,\dfrac {1+\sqrt 5}2$
D: $\dfrac {1+\sqrt 5}2,\dfrac {-1-\sqrt 5}2$
【难度】
【出处】
2011年复旦大学优秀高中生文化水平选拔测试
【标注】
  • 知识点
    >
    向量
    >
    利用向量解决几何问题
【答案】
B
【解析】
说明这三个向量共面，从而存在 $x,y$ 使得$$\overrightarrow{v_3}=x\overrightarrow{v_1}+y\overrightarrow{v_2}=(x+y,y,x),$$从而有 $k^2+k-1+1=1$，解得 $k=\dfrac {-1\pm\sqrt 5}{2}$．
题目 答案 解析 备注
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