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设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上有定义，要使函数 $f(x-a)+f(x+a)$ 有定义，则 $a$ 的取值范围为  \((\qquad)\)
A: $\left(-\infty,-\dfrac12\right)$
B: $\left[-\dfrac12,\dfrac12\right]$
C: $\left(\dfrac12,+\infty\right)$
D: $\left(-\infty,-\dfrac12\right]\cup\left[\dfrac12,+\infty\right)$
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛浙江省预赛
【标注】
  • 数学竞赛
    >
    函数与方程
    >
    函数基本性质
【答案】
B
【解析】
函数 $f(x-a)+f(x+a)$ 的定义域为$$[a,a+1]\cap[-a,1-a],$$当 $a\geqslant0$ 时，应有 $a\leqslant1-a$，解得 $a\leqslant\dfrac12$；
当 $a<0$ 时，应有 $-a\leqslant1+a$，解得 $a\geqslant-\dfrac12$．
题目 答案 解析 备注
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