过圆 $C:{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1$ 的圆心，作直线分别交 $x$，$y$ 正半轴于点 $A$，$B$，$\triangle AOB$ 被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足 $S_{I} + S_{IV} = S_ {II} + S_{III}$，则这样的直线 $AB$ 有 \((\qquad)\) 
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
B
【解析】
注意到在直线 $AB$ 绕圆心旋转的过程中，第 $IV$ 部分和第 $II$ 部分的面积不发生变化．
于是将 $S_{I}+S_{IV}=S_{II}+S_{III}$ 变形为$$S_{III}-S_{I}=S_{IV}-S_{II}.$$注意到随着 $AB$ 顺时针旋转第 $III$ 部分的面积逐渐增大，第 $i$ 部分的面积逐渐减小，$S_{III}-S_{I}$ 是关于 $\angle BAO$ 的单调递增函数．
当 $\angle BAO$ 很小时，有$$S_{III}-S_{I}<0,$$而当 $\angle BAO$ 趋于 $90^{\circ}$ 时，$S_{III}-S_{I}$ 趋于无穷大．
因此满足条件的直线 $AB$ 只有 $1$ 条．
于是将 $S_{I}+S_{IV}=S_{II}+S_{III}$ 变形为$$S_{III}-S_{I}=S_{IV}-S_{II}.$$注意到随着 $AB$ 顺时针旋转第 $III$ 部分的面积逐渐增大，第 $i$ 部分的面积逐渐减小，$S_{III}-S_{I}$ 是关于 $\angle BAO$ 的单调递增函数．
当 $\angle BAO$ 很小时，有$$S_{III}-S_{I}<0,$$而当 $\angle BAO$ 趋于 $90^{\circ}$ 时，$S_{III}-S_{I}$ 趋于无穷大．
因此满足条件的直线 $AB$ 只有 $1$ 条．
题目
答案
解析
备注
