已知向量 $\overrightarrow{a}=(0,1)$，$\overrightarrow{b}=\left(-\dfrac{\sqrt3}{2},-\dfrac12\right)$，$\overrightarrow{c}=\left(\dfrac{\sqrt3}{2},-\dfrac12\right)$，且 $x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}+z\overrightarrow{c}=(1,1)$，则 $x^2+y^2+z^2$ 的最小值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2011年清华大学等七校联考自主招生试题
【标注】
【答案】
B
【解析】
由题可知$$\begin{cases}-\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}y + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}z=1,\\ x-\dfrac{1}{2}y - \dfrac{1}{2}z=1,\end{cases}$$整理可得$$\begin{cases} z-y=\dfrac{2}{{\sqrt 3 }},\\z + y = 2\left( {x - 1} \right)\end{cases}$$所以\[\begin{split}{x^2} + {y^2} + {z^2} &= {x^2} + \dfrac{{{{\left( {z - y} \right)}^2} + {{\left( {z + y} \right)}^2}}}{2}\\&= {x^2} + \dfrac{{\frac{4}{3} + 4{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{2}\\& = 3{\left( {x - \dfrac{2}{3}} \right)^2} + \dfrac{4}{3},\end{split}\]因此 ${x^2} + {y^2} + {z^2}$ 的最小值为 $\dfrac{4}{3}$．
题目
答案
解析
备注
