已知 $a_1,a_2,\cdots ,a_{2011}$ 是一列互不相等的正整数，如果任意改变这 $2011$ 个数的顺序，把它们记为 $b_1,b_2,\cdots ,b_{2011}$，则数列 $M=(a_1-b_1)(a_2-b_2)(a_3-b_3)\cdots (a_{2011}-b_{2011})$ 的值 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛吉林省预赛
【标注】
【答案】
D
【解析】
假设 $M$ 是奇数，则 $a_i-b_i(i=1,2,\cdots ,2011)$ 必定都是奇数，从而这 $2011$ 个奇数的和也是奇数．
另一方面，其和\[\begin{split}&(a_1-b_1)+(a_2-b_2)+(a_3-b_3)+\cdots +(a_{2011}-b_{2011})\\=&(a_1+a_2+a_3+\cdots +a_{2011})-(b_1+b_2+b_3+\cdots +b_{2011})\\=&0\end{split}\]为偶数，矛盾，所以假设不成立，即 $M$ 是偶数．
另一方面，其和\[\begin{split}&(a_1-b_1)+(a_2-b_2)+(a_3-b_3)+\cdots +(a_{2011}-b_{2011})\\=&(a_1+a_2+a_3+\cdots +a_{2011})-(b_1+b_2+b_3+\cdots +b_{2011})\\=&0\end{split}\]为偶数，矛盾，所以假设不成立，即 $M$ 是偶数．
题目
答案
解析
备注
