已知 $x,y$ 均为正实数，则 $\dfrac{x}{2x+y}+\dfrac y{x+2y}$ 的最大值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛山东省预赛
【标注】
【答案】
B
【解析】
令 $t=\dfrac yx$，则 $t\in(0,+\infty)$，此时$$\dfrac{x}{2x+y}+\dfrac{y}{x+2y}=\dfrac 1{t+2}+\dfrac t{2t+1}=f(t),$$而$$f'(t)=-\dfrac{3(t^2-1)}{(t+2)^2(2t+1)^2}.$$显然当 $t<1$ 时，$f'(t)>0$；
当 $t>1$ 时，$f'(t)<0$．
故函数 $f(t)$ 在 $t=1$，即 $x=y$ 时取得最大值 $f(1)=\dfrac 23$．
当 $t>1$ 时，$f'(t)<0$．
故函数 $f(t)$ 在 $t=1$，即 $x=y$ 时取得最大值 $f(1)=\dfrac 23$．
题目
答案
解析
备注
