设函数 $f(x)=\sqrt{1-x^{2}}\cdot \left(|x-2|+\dfrac{4}{2^{x}-1}\right)$．考虑命题 $p:$ $f(x)$ 是奇函数；命题 $q:$ $f(x)$ 是偶函数．那么，正确的命题是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛天津市预赛
【标注】
【答案】
B
【解析】
注意 $f(x)$ 的定义域是 $[-1,0)\cup (0,1]$，所以\[\begin{split}f(x)&=\sqrt{1-x^{2}}\cdot \left(2-x+\dfrac{4}{2^{x}-1}\right)\\ &=\sqrt{1-x^{2}}\cdot \left(-x+2\cdot \dfrac{2^{x}+1}{2^{x}-1}\right),\end{split}\]容易看出 $f(x)$ 是奇函数，不是偶函数．
题目
答案
解析
备注
