已知函数 $f(x)=\left(\dfrac{1}{a^x-1}+\dfrac 12\right)x^2+bx+6$（$a,b$ 为常数，$a>1$），且 $f(\lg{\log_8{1000}})=8$，则 $f(\lg{\lg 2})$ 的值是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛山东省预赛
【标注】
【答案】
B
【解析】
由已知可得$$f(\lg{\log_8{1000}})=f\left(\lg{\dfrac 3{3\lg 2}}\right)=f(-\lg{\lg 2})=8.$$因为\[\begin{split}\dfrac{1}{a^{-x}-1}+\dfrac 12&=\dfrac{a^x}{1-a^x}+\dfrac 12\\&=-1+\dfrac 1{1-a^x}+\dfrac 12 \\&=-\dfrac 1{a^x-1}-\dfrac 12,\end{split}\]所以令 $F(x)=f(x)-6$，则有$$F(-x)=-F(x).$$故有$$f(-\lg{\lg 2})=F(-\lg{\lg 2})+6=-F(\lg{\lg 2})+6=8.$$即知$$F(\lg{\lg 2})=-2,$$因此$$f(\lg{\lg 2})=F(\lg{\lg 2})+6=4.$$
题目
答案
解析
备注
