如果曲线 $y=2\sin \dfrac{x}{2}$ 的两条互相垂直的切线交于 $P$ 点，则 $P$ 点的坐标不可能是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛天津市预赛
【标注】
【答案】
C
【解析】
函数 $y=2\sin\dfrac{x}{2}$ 的图象在 $x=x_{i}$ 处的切线斜率为 $\cos\dfrac{x_{i}}{2}$．
因此，若 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 处的切线互相垂直，则$$\cos\dfrac{x_{1}}{2}\cos\dfrac{x_{2}}{2}=-1.$$不妨设 $\cos\dfrac{x_{1}}{2}\leqslant \cos\dfrac{x_{2}}{2}$，则从上式可得$$\cos\dfrac{x_{1}}{2}=-1,\cos\dfrac{x_{2}}{2}=1,$$即$$\dfrac{x_{1}}{2}=(2a+1)\pi,\dfrac{x_{2}}{2}=2b\pi,a,b\in\mathbb Z.$$进一步，可求出两条切线的交点 $P$ 的坐标$$(x_{0},y_{0})=\left(\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2},\dfrac{x_{1}-x_{2}}{2}\right).$$因此，$P$ 的横坐标与纵坐标都是 $\pi$ 的奇数倍，且两者之差是 $4\pi$ 的整数倍．四个选项中只有 $C$ 不符合这一特征．
因此，若 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 处的切线互相垂直，则$$\cos\dfrac{x_{1}}{2}\cos\dfrac{x_{2}}{2}=-1.$$不妨设 $\cos\dfrac{x_{1}}{2}\leqslant \cos\dfrac{x_{2}}{2}$，则从上式可得$$\cos\dfrac{x_{1}}{2}=-1,\cos\dfrac{x_{2}}{2}=1,$$即$$\dfrac{x_{1}}{2}=(2a+1)\pi,\dfrac{x_{2}}{2}=2b\pi,a,b\in\mathbb Z.$$进一步，可求出两条切线的交点 $P$ 的坐标$$(x_{0},y_{0})=\left(\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2},\dfrac{x_{1}-x_{2}}{2}\right).$$因此，$P$ 的横坐标与纵坐标都是 $\pi$ 的奇数倍，且两者之差是 $4\pi$ 的整数倍．四个选项中只有 $C$ 不符合这一特征．
题目
答案
解析
备注
