设数列 $\{a_n\}$ 为等差数列，数列 $\{b_n\}$ 满足：$b_1=a_1$，$b_2=a_2+a_3$，$b_3=a_4+a_5+a_6$，$\cdots $，若 $\lim\limits_{n\to \infty}{\dfrac{b_n}{n^3}}=2$，则数列 $\{a_n\}$ 的公差 $d$ 为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛四川省预赛
【标注】
【答案】
D
【解析】
因为\[\begin{split}b_n&=a_{\frac{n(n-1)}{2}+1}+a_{\frac{n(n-1)}{2}+2}+\cdots +a_{\frac{n(n-1)}{2}+n}\\&=\dfrac n2 (a_{\frac{n(n-1)}{2}+1}+a_{\frac{n(n-1)}{2}+n})\\&=\dfrac n2\left(a_1+\dfrac{n(n-1)}{2}d+a_1+\left(\dfrac{n(n-1)}{2}+n-1\right)d\right)\\&=\dfrac n2 (2a_1-d+n^2d),\end{split}\]所以$$\lim\limits_{n\to\infty}{\dfrac{b_n}{n^3}}=\lim\limits_{n\to \infty}{\dfrac 12 \left(\dfrac{2a_1-d}{n^2}+d\right)}=\dfrac d2 =2,$$解得 $d=4$．
题目
答案
解析
备注
