设 $m,n$ 为实数，且直线 $mx+ny=4$ 和圆 $x^2+y^2=4$ 没有公共点，则关于 $x$ 的方程 $x^2+2mx+n^2=0$ 有实根的概率为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛黑龙江省预赛
【标注】
【答案】
B
【解析】
由题意得，圆心 $(0,0)$ 到直线 $mx+ny=4$ 的距离为$$\dfrac {4}{\sqrt {m^2+n^2}}>2,$$即$$m^2+n^2<4.$$若关于 $x$ 的方程 $x^2+2mx+n^2=0$ 有实根，则$$\Delta=4m^2-4n^2\geqslant 0.$$由几何概型易得，该方程有实根的概率为 $\dfrac 12$．
题目
答案
解析
备注
