向量 $\overrightarrow a,\overrightarrow b $ 均为非零向量，$\left( {\overrightarrow a - 2\overrightarrow b } \right) \perp \overrightarrow a $，$\left( {\overrightarrow b - 2\overrightarrow a } \right) \perp \overrightarrow b $，则 $\overrightarrow a $ 与 $\overrightarrow b $ 的夹角为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2011年清华大学夏令营试题
【标注】
【答案】
B
【解析】
因为$$\left( {\overrightarrow a - 2\overrightarrow b } \right) \cdot \overrightarrow a = \left( {\overrightarrow b - 2\overrightarrow a } \right) \cdot \overrightarrow b = 0,$$所以$${\left| {\overrightarrow a } \right|^2} - 2\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} - 2\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 0.$$于是$$\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \dfrac{1}{2}{\left| {\overrightarrow a } \right|^2} = \dfrac{1}{2}{\left| {\overrightarrow b } \right|^2} = \dfrac{1}{2}\left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|,$$得 $\overrightarrow a $ 与 $\overrightarrow b $ 的夹角为 $\dfrac{{{\pi }}}{3}$．
题目
答案
解析
备注
