函数 $f(x)=\begin{cases}\sin(\pi x^2)(-1<x<0)\\ {\rm e}^{x-1}(x\geqslant 0)\end{cases}$ 满足 $f(1)+f(a)=2$，则 $a$ 的所有可能的值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛黑龙江省预赛
【标注】
【答案】
A
【解析】
因为 $f(1)=1$，所以$$f(a)=1.$$情形一 $a\geqslant 0$．
由$$f(a)=e^{a-1}=1,$$解得 $a=1$．
情形二 $-1<a<0$．
由$$f(a)=\sin (\pi x^2)=1,$$解得 $a^2=2k+\dfrac 12$．
又因为 $-1<a<0$，所以 $k$ 只能取 $0$，解得 $a=-\dfrac {\sqrt 2}{2}$．
由$$f(a)=e^{a-1}=1,$$解得 $a=1$．
由$$f(a)=\sin (\pi x^2)=1,$$解得 $a^2=2k+\dfrac 12$．
又因为 $-1<a<0$，所以 $k$ 只能取 $0$，解得 $a=-\dfrac {\sqrt 2}{2}$．
题目
答案
解析
备注
