如图，$\triangle ABC$ 内接于 $ \odot O$，过 $BC$ 中点 $D$ 作平行于边 $AC$ 的直线 $l$，$l$ 交 $AB$ 于 $E$，交 $ \odot O$ 于 $G$、$F$，交 $ \odot O$ 在 $A$ 点处的切线于 $P$，若 $PE = 3$，$ED = 2$，$EF = 3$，则 $PA$ 的长为 \((\qquad)\) 
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
B
【解析】
由题意 $ED = 2$，$DF = 1$，$AC = 4$，$AE = BE$．设 $GE = x$，则 $PG = 3 - x$．
由相交弦定理$$GE \cdot EF = AE \cdot BE,$$得 $AE = BE = \sqrt {3x} $．
又 $PA$ 为切线，所以 $\triangle PAE \backsim \triangle BDE$，于是$$\dfrac{{PE}}{{AE}} = \dfrac{{BE}}{{ED}},$$所以$$\dfrac{3}{{\sqrt {3x} }} = \dfrac{{\sqrt {3x} }}{2},$$得 $x = 2$．由切割线定理$$P{A^2} = PG \cdot PF = 6,$$得 $PA = \sqrt 6 $．
由相交弦定理$$GE \cdot EF = AE \cdot BE,$$得 $AE = BE = \sqrt {3x} $．
又 $PA$ 为切线，所以 $\triangle PAE \backsim \triangle BDE$，于是$$\dfrac{{PE}}{{AE}} = \dfrac{{BE}}{{ED}},$$所以$$\dfrac{3}{{\sqrt {3x} }} = \dfrac{{\sqrt {3x} }}{2},$$得 $x = 2$．由切割线定理$$P{A^2} = PG \cdot PF = 6,$$得 $PA = \sqrt 6 $．
题目
答案
解析
备注
