要使 $y$ 最大，应有 $\tan x>0$．不妨设 $0<x<\dfrac{\pi}{2}$，则\[y=\tan x-\dfrac{2}{\cos x}=\dfrac{\sin x-2}{\cos x},\]即\[\sin x-y\cos x=2.\]所以\[\sin (x-\theta)=\dfrac{2}{\sqrt{1+y^{2}}},\]其中 $\tan\theta =y$．由 $\sin (x-\theta)\leqslant 1$，得 $\dfrac{2}{\sqrt{1+y^{2}}}\leqslant 1$，解得 $y\leqslant -\sqrt 3$ 或 $y\geqslant 3$．易知 $y<0$，所以 $y\leqslant -\sqrt 3$．将 $y=-\sqrt 3$ 代入 $\sin x-y\cos x=2$，得 $x=\dfrac{\pi}{6}$．故 $y_{\max}=-\sqrt 3$．