全面积为定值 ${{\pi }}{a^2}$（其中 $a > 0$）的圆锥中，体积的最大值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2001年复旦大学保送生招生测试
【标注】
【答案】
B
【解析】
设圆锥的底面半径为 $r$，母线长为 $l$，由题知，${{\pi }}{r^2} + {{\pi }}rl = {{\pi }}{a^2}$，得 $l = \dfrac{{{a^2} - {r^2}}}{r}$．
所以\[\begin{split}V& = \dfrac{1}{3}{{\pi }}{r^2} \cdot h \\&= \dfrac{1}{3}{{\pi }}{r^2} \cdot \sqrt {{{\left( {\dfrac{{{a^2} - {r^2}}}{r}} \right)}^2} - {r^2}}\\&= \dfrac{1}{3}{{\pi }}a\sqrt {{r^2}\left( {{a^2} - 2{r^2}} \right)} \\& \leqslant \dfrac{{\sqrt 2 }}{{12}}{{\pi }}{a^3}.\end{split}\]当且仅当 ${r^2} = \dfrac{{{a^2}}}{4}$ 时取得等号．
所以\[\begin{split}V& = \dfrac{1}{3}{{\pi }}{r^2} \cdot h \\&= \dfrac{1}{3}{{\pi }}{r^2} \cdot \sqrt {{{\left( {\dfrac{{{a^2} - {r^2}}}{r}} \right)}^2} - {r^2}}\\&= \dfrac{1}{3}{{\pi }}a\sqrt {{r^2}\left( {{a^2} - 2{r^2}} \right)} \\& \leqslant \dfrac{{\sqrt 2 }}{{12}}{{\pi }}{a^3}.\end{split}\]当且仅当 ${r^2} = \dfrac{{{a^2}}}{4}$ 时取得等号．
题目
答案
解析
备注
