若关于 $x$ 的不等式 $\dfrac {4x}{a}+\dfrac 1x \geqslant 4$ 在区间 $[1,2]$ 上恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛天津市预赛
【标注】
【答案】
A
【解析】
取 $x=1$，得 $\dfrac {4}{a}\geqslant 3$，可知$$0<a\leqslant \dfrac 43,$$从而 $a$ 是正数．这样原不等式变为$$a \leqslant \dfrac {4x}{4-\dfrac 1x}, \forall x \in [1,2],$$从而只需求函数 $f(x)=\dfrac {4x}{4-\dfrac 1x}$ 在区间 $[1,2]$ 的最小值．
易知$$f'(x)=\dfrac {8x(2x-1)}{(4x-1)^2}$$在 $[1,2]$ 上恒为正数，即 $f(x)$ 在 $[1,2]$ 上单调增，故 $f(x)$ 的最小值为 $f(1)=\dfrac 43$．
易知$$f'(x)=\dfrac {8x(2x-1)}{(4x-1)^2}$$在 $[1,2]$ 上恒为正数，即 $f(x)$ 在 $[1,2]$ 上单调增，故 $f(x)$ 的最小值为 $f(1)=\dfrac 43$．
题目
答案
解析
备注
