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已知 $\triangle{ABC}$ 的三边 $a,b,c$ 成等比数列，$a,b,c$ 所对的角依次为 $A,B,C$，则 $\sin B+\cos B$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
A: $\left(1,1+\dfrac{\sqrt 3}{2}\right]$
B: $\left[\dfrac 12,1+\dfrac{\sqrt 3}{2}\right]$
C: $(1,\sqrt 2]$
D: $\left[\dfrac 12,\sqrt 2\right]$
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
C
【解析】
\[\begin{split}ac=b^2=a^2+c^2-2ac\cos B\geqslant 2ac-2ac\cos B,\end{split}\]所以 $\cos B\geqslant \dfrac 12$，所以 $0<B\leqslant \dfrac{\pi}{3}$，于是$$\sin B+\cos B=\sqrt 2 \sin\left(B+\dfrac{\pi}{4}\right)$$其取值范围为 $(1,\sqrt 2]$．
题目 答案 解析 备注
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