$\triangle ABC$ 的三个内角为 $A$，$B$，$C$，若 $\dfrac {\sin A+\sqrt 3\cos A}{\cos A-\sqrt 3\sin A}=\tan \dfrac {7\pi}{12}$，则 $\sin 2B+2\cos C $ 的最大值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛辽宁省预赛
【标注】
【答案】
C
【解析】
因为$$\dfrac {\sin A+\sqrt 3\cos A}{\cos A-\sqrt 3\sin A}=\dfrac {\tan A+\tan {\dfrac {\pi}{3}}}{1-\tan A \tan \dfrac {\pi}{3}}=\tan \left(A+\dfrac {\pi}{3}\right),$$故$$A+\dfrac {\pi}{3}=\dfrac {7\pi}{12},$$解得 $A=\dfrac {\pi}{4}$．
因为 $2B+2C=\dfrac {3\pi}{2}$，所以\[\begin{split}\sin 2B +2\cos C &= \sin \left(\dfrac {3\pi}{2}-2C\right)+2\cos C \\&=-\cos 2C+2\cos C\\&=1-2\cos ^2C+2\cos C \\&=-2\left(\cos C-\dfrac 12 \right)^2+\dfrac 32 \leqslant \dfrac 32,\end{split}\]当 $C=\dfrac {\pi}{3}$ 时取等号．
故 $\sin 2B +2\cos C$ 的最大值为 $\dfrac 32$．
因为 $2B+2C=\dfrac {3\pi}{2}$，所以\[\begin{split}\sin 2B +2\cos C &= \sin \left(\dfrac {3\pi}{2}-2C\right)+2\cos C \\&=-\cos 2C+2\cos C\\&=1-2\cos ^2C+2\cos C \\&=-2\left(\cos C-\dfrac 12 \right)^2+\dfrac 32 \leqslant \dfrac 32,\end{split}\]当 $C=\dfrac {\pi}{3}$ 时取等号．
故 $\sin 2B +2\cos C$ 的最大值为 $\dfrac 32$．
题目
答案
解析
备注
