正项数列 $\{a_n\}$
满足 $\dfrac {1}{a_na_{n+1}}+\dfrac {1}{a_na_{n+2}}+\dfrac {1}{a_{n+1}a_{n+2}}=1(n \in \mathbb N^*)$，$a_1+a_3=6$，$a_1$，$a_2$，$a_3$ 单调递增且成等比数列，$S_n$ 为 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，则 $[S_{2014}]$ 的值是（其中 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数） \((\qquad)\)
满足 $\dfrac {1}{a_na_{n+1}}+\dfrac {1}{a_na_{n+2}}+\dfrac {1}{a_{n+1}a_{n+2}}=1(n \in \mathbb N^*)$，$a_1+a_3=6$，$a_1$，$a_2$，$a_3$ 单调递增且成等比数列，$S_n$ 为 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，则 $[S_{2014}]$ 的值是（其中 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数） \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛河南省预赛
【标注】
【答案】
A
【解析】
由已知可得：$$a_n+a_{n+1}+a_{n+2}=a_na_{n+1}a_{n+2},\quad\cdots\cdots \text{ ① }$$所以$$a_1+a_{2}+a_{3}=a_1a_{2}a_{3},$$又因为$$a_1a_3=a_2^2,$$所以$$a_2^3=a_2+6,$$即$$(a_2-2)(a_2^2+2a_2+3)=0,$$解得 $a_2=2$．
又因为 $a_1$，$a_2$，$a_3$ 成等比数列，所以$$a_1+\dfrac {4}{a_1}=6,$$解得 $a_1=3\pm \sqrt 5$．
又由 $a_1$．$a_2$，$a_3$ 单调增加，知 $a_1=3-\sqrt 5$．
再由 ① 式得：$$a_{n+1}+a_{n+2}+a_{n+3}=a_{n+1}a_{n+2}a_{n+3}.\quad\cdots\cdots \text{ ② }$$② $-$ ① 得：$$(a_{n+3}-a_n)(1-a_{n+1}a_{n+2})=0.$$故 $a_n=a_{n+3}$，即 $\{a_n\}$ 是以 $3$ 为周期的数列，$a_{2014}=a_1=3-\sqrt 5$．
因此\[\begin{split}S_{2014}&=S_{2013}+a_{2014}\\ &=\dfrac {2013}{3}\times (6+2)+3-\sqrt 5\\ &=5368+(3-\sqrt 5).\end{split}\]故 $[S_{2014}]=5368$．
又因为 $a_1$，$a_2$，$a_3$ 成等比数列，所以$$a_1+\dfrac {4}{a_1}=6,$$解得 $a_1=3\pm \sqrt 5$．
又由 $a_1$．$a_2$，$a_3$ 单调增加，知 $a_1=3-\sqrt 5$．
再由 ① 式得：$$a_{n+1}+a_{n+2}+a_{n+3}=a_{n+1}a_{n+2}a_{n+3}.\quad\cdots\cdots \text{ ② }$$② $-$ ① 得：$$(a_{n+3}-a_n)(1-a_{n+1}a_{n+2})=0.$$故 $a_n=a_{n+3}$，即 $\{a_n\}$ 是以 $3$ 为周期的数列，$a_{2014}=a_1=3-\sqrt 5$．
因此\[\begin{split}S_{2014}&=S_{2013}+a_{2014}\\ &=\dfrac {2013}{3}\times (6+2)+3-\sqrt 5\\ &=5368+(3-\sqrt 5).\end{split}\]故 $[S_{2014}]=5368$．
题目
答案
解析
备注
