过原点的直线 $l$ 交双曲线 $xy=-2\sqrt 2$ 于 $P,Q$ 两点，其中 $P$ 点在第二象限，将下半平面沿 $x$ 轴折起使之与上半平面成直二面角，线段 $PQ$ 的最短长度是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛辽宁省预赛
【标注】
【答案】
D
【解析】
设点 $P$ 的坐标为 $(x,y)$，由对称性 $Q$ 的坐标为 $(-x,-y)$．
分别过 $P,Q$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足分别为 $P_{1}(x,0)$，$Q_{1}(-x,0)$．
折成直二面角后，\[\begin{split}|PQ|^{2}&=|PP_{1}|^{2}+|P_{1}Q_{1}|^{2}+|Q_{1}Q|^{2}\\&=y^{2}+(2x)^{2}+(-y)^{2}\\&=4x^{2}+2\left(\dfrac{-2\sqrt 2}{x}\right)^{2}\\&=4x^{2}+\dfrac{16}{x^{2}}\\&\geqslant 2\sqrt {64}=16,\end{split}\]当 $4x^{2}=\dfrac{16}{x^{2}}$ 即 $x=\sqrt 2$ 时，等号成立．
因此 $|PQ|$ 的最小值为 $4$．
分别过 $P,Q$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足分别为 $P_{1}(x,0)$，$Q_{1}(-x,0)$．
折成直二面角后，\[\begin{split}|PQ|^{2}&=|PP_{1}|^{2}+|P_{1}Q_{1}|^{2}+|Q_{1}Q|^{2}\\&=y^{2}+(2x)^{2}+(-y)^{2}\\&=4x^{2}+2\left(\dfrac{-2\sqrt 2}{x}\right)^{2}\\&=4x^{2}+\dfrac{16}{x^{2}}\\&\geqslant 2\sqrt {64}=16,\end{split}\]当 $4x^{2}=\dfrac{16}{x^{2}}$ 即 $x=\sqrt 2$ 时，等号成立．
因此 $|PQ|$ 的最小值为 $4$．
题目
答案
解析
备注
