内直径为 $\dfrac{4\sqrt 3}{3}+2$，高为 $20$ 的圆柱形容器中最多可以放入直径为 $2$ 的小球的个数是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛辽宁省预赛
【标注】
【答案】
C
【解析】
圆柱的底部可以放 $3$ 个两两相切的小球，上一层也放 $3$ 个两两相切的小球，使每个小球与下层 $2$ 个小球相切，按此方法依次向上放置小球，设共放 $k$ 层，则总高度\[H=2+(k-1)\dfrac{2\sqrt 6}{3}.\]当 $k=12$ 时，$H=\left(2+\dfrac{22\sqrt 6}{3}\right)\approx 19.96<20$；
当 $k=13$ 时，$H=\left(2+\dfrac{24\sqrt 6}{3}\right)\approx 21.60>20$．
故最多可放入 $12$ 层小球共 $36$ 个．
当 $k=13$ 时，$H=\left(2+\dfrac{24\sqrt 6}{3}\right)\approx 21.60>20$．
故最多可放入 $12$ 层小球共 $36$ 个．
题目
答案
解析
备注
