已知函数 $f(x)=\sin(\omega x+\varphi)(\omega>0,|\varphi|\leqslant\dfrac{\pi}{2})$，$x=-\dfrac{\pi}{4}$ 为 $f(x)$ 的零点，$x=\dfrac{\pi}{4}$ 为 $y=f(x)$ 图象的对称轴，且 $f(x)$ 在 $\left(\dfrac{\pi}{18},\dfrac{5\pi}{36}\right)$ 单调，则 $\omega$ 的最大值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2016年高考全国乙卷（理）
【标注】
【答案】
B
【解析】
由题意知$$\left(\dfrac 12k+\dfrac 14\right )T=\dfrac {\pi}{4}-\left(-\dfrac {\pi}{4}\right ),k\in\mathbb Z,$$解得$$\omega=\dfrac {2\pi}{T}=2k+1,k\in\mathbb{Z}.$$（也可以由$$\begin{cases} -\dfrac {\pi}{4}\omega+\varphi=m\pi,\\\dfrac {\pi}{4}\omega+\varphi=n\pi+\dfrac {\pi}{2},\end{cases}m,n\in\mathbb{Z}$$两式相减得到 $\omega$．）
又因为 $f(x)$ 在 $\left(\dfrac {\pi}{18},\dfrac {5\pi}{36}\right )$ 单调，所以$$T=\dfrac {2\pi}{\omega}=\dfrac {2\pi}{2k+1}\geqslant 2\left(\dfrac {5\pi}{36}-\dfrac {\pi}{18}\right ),k\in\mathbb Z,$$于是 $k\leqslant \dfrac{11}2$，从大到小进行试探：
当 $k=5$ 时，$f(x)$ 在 $\left(\dfrac {\pi}{18},\dfrac {5\pi}{36}\right )$ 不单调（因为 $\dfrac {\pi}{18}<\dfrac {\pi}{4}-T<\dfrac {5\pi}{36}$）；
当 $k=4$ 时，$f(x)$ 在 $\left(\dfrac {\pi}{36},\dfrac {5\pi}{36}\right )$ 上单调，符合题意，所以 $\omega$ 的最大值为 $9$．
又因为 $f(x)$ 在 $\left(\dfrac {\pi}{18},\dfrac {5\pi}{36}\right )$ 单调，所以$$T=\dfrac {2\pi}{\omega}=\dfrac {2\pi}{2k+1}\geqslant 2\left(\dfrac {5\pi}{36}-\dfrac {\pi}{18}\right ),k\in\mathbb Z,$$于是 $k\leqslant \dfrac{11}2$，从大到小进行试探：
当 $k=5$ 时，$f(x)$ 在 $\left(\dfrac {\pi}{18},\dfrac {5\pi}{36}\right )$ 不单调（因为 $\dfrac {\pi}{18}<\dfrac {\pi}{4}-T<\dfrac {5\pi}{36}$）；
当 $k=4$ 时，$f(x)$ 在 $\left(\dfrac {\pi}{36},\dfrac {5\pi}{36}\right )$ 上单调，符合题意，所以 $\omega$ 的最大值为 $9$．
题目
答案
解析
备注
