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若函数 $f(x)=x-\dfrac 13\sin 2x+a\sin x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上单调递增，则 $a$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
A: $[-1,1]$
B: $\left[-1,\dfrac 13\right]$
C: $\left[-\dfrac 13,\dfrac 13\right]$
D: $\left[-1,-\dfrac 13\right]$
【难度】
【出处】
2016年高考全国乙卷（文）
【标注】
  • 知识点
    >
    微积分初步
    >
    利用导数研究函数的性质
    >
    利用导数研究函数的单调性
  • 题型
    >
    不等式
    >
    恒成立与存在性问题
【答案】
C
【解析】
函数 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)=1-\dfrac 23\cos 2x+a\cos x=-\dfrac 43\cos^2x+a\cos x+\dfrac 53,$$根据题意有 $\forall x\in\mathbb R,f'(x)\geqslant 0$，令 $t=\cos x$，则上述命题即$$\forall t\in [-1,1],4t^2-3at-5\leqslant 0,$$由于二次函数 $g(t)=4t^2-3at-5$ 的开口向上，因此只需要$$\begin{cases} g(-1)\leqslant 0,\\ g(1)\leqslant 0\end{cases}$$即可，解得 $-\dfrac 13\leqslant a\leqslant \dfrac 13$，选C．
题目 答案 解析 备注
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