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已知直线 $x=2$ 与双曲线 $\Gamma:\dfrac{x^2}{4}-y^2=1$ 的渐近线交于 $E_1,E_2$ 两点，记 $\overrightarrow {OE_1}=\overrightarrow{e_1}$，$\overrightarrow{OE_2}=\overrightarrow{e_2}$，任取双曲线 $\Gamma$ 上的点 $P$，若 $\overrightarrow{OP}=a\overrightarrow{e_1}+b\overrightarrow{e_2}$（$a,b \in \mathbb R$），则 \((\qquad)\)
A: $0<a^2+b^2<1$
B: $0>a^2+b^2<\dfrac 12$
C: $a^2+b^2\geqslant 1$
D: $a^2+b^2\geqslant \dfrac 12$
【难度】
【出处】
2010年湖南省高中数学竞赛
【标注】
  • 数学竞赛
    >
    平面向量
    >
    平面向量
【答案】
D
【解析】
易求得 $E_1(2,1),E_2(2,-1)$，所以$$\overrightarrow {OP}=a\overrightarrow {e_1}+b\overrightarrow {e_2}=(2a+2b,a-b),$$由点 $P$ 在双曲线上，得$$\dfrac{(2a+2b)^2}{4}-(a-b)^2=1,$$化简得 $4ab=1$，故$$a^2+b^2\geqslant 2ab=\dfrac 12.$$
题目 答案 解析 备注
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