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定义“规范 $01$ 数列”$\{a_n\}$ 如下：$\{a_n\}$ 共有 $2m$ 项，其中 $m$ 项为 $0$，$m$ 项为 $1$，且对任意 $k\leqslant 2m$，$a_1,a_2,\cdots,a_k$ 中 $0$ 的个数不少于 $1$ 的个数．若 $m=4$，则不同的“规范 $01$ 数列”共有 \((\qquad)\)
A: $18$ 个
B: $16$ 个
C: $14$ 个
D: $12$ 个
【难度】
【出处】
2016年高考全国丙卷（理）
【标注】
  • 知识点
    >
    计数与概率
    >
    加法原理与乘法原理
  • 知识点
    >
    计数与概率
    >
    经典计数问题
    >
    卡特兰数
【答案】
C
【解析】
由题意知，数列的第一项一定为 $0$，最后一项一定为 $1$，只需要直接列举中间 $6$ 项即可．按照第2，3项分类：
情形一第 $2$ 项为 $1$，第 $3$ 项必为 $0$，有$$100011,100101,100110,101001,101010$$共 $5$ 个“规范 $01$ 数列”；
情形二第 $2$ 项为 $0$，第 $3$ 项也为 $0$，有$$000111,001011,001101,001110$$共 $4$ 个“规范 $01$ 数列”；
情形三第 $2$ 项为 $0$，第 $3$ 项为 $1$，有$$010011,010101,010110,011001,011010$$共 $5$ 个“规范 $01$ 数列”．
所以“规范 $01$ 数列”一共有 $5+4+5=14$ 个．
题目 答案 解析 备注
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