已知无穷等比数列 $\left\{a_n\right\} $ 的公比为 $q$，前 $n$ 项和为 $S_n$，且 $\lim\limits_{n\to\infty}S_n=S$．下列条件中，使得 $2S_n<S \left(n\in \mathbb{N}^{*} \right) $ 恒成立的是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2016年高考上海卷（理）
【标注】
【答案】
B
【解析】
由题意，$-1<q<1$ 且 $q\ne 0$，而 $S=\dfrac{a_1}{1-q} $，若 $2S_n<S \left(n\in \mathbb{N}^{*} \right) $ 恒成立，则$$2a_1 \left(1-q^n\right)<a_1\left(n\in \mathbb{N}^{*} \right) $$恒成立，其中 $a_1\ne 0$．
情形一 $a_1>0$．
此时 $2\left(1-q^n\right)<1\left(n\in \mathbb{N}^{*} \right)$ 恒成立．
在上式两边同时令 $n\to \infty$，由数列极限的保序性，我们有 $2 \leqslant 1$，矛盾．
情形二 $a_1<0$．
此时 $2\left(1-q^n\right)>1\left(n\in \mathbb{N}^{*} \right)$ 恒成立，即$$q^n<\dfrac{1}{2} \left(n\in \mathbb{N}^{*} \right) $$恒成立，而这又等价于 $q<\dfrac 12$，且 $q^2<\dfrac{1}{2}$．
综上所述，$a_1<0$，且此时公比 $q$ 的取值范围是 $\left(-\dfrac{\sqrt{2} }{2},0\right)\cup\left(0,\dfrac 12\right)$，所以选B．
此时 $2\left(1-q^n\right)<1\left(n\in \mathbb{N}^{*} \right)$ 恒成立．
在上式两边同时令 $n\to \infty$，由数列极限的保序性，我们有 $2 \leqslant 1$，矛盾．
此时 $2\left(1-q^n\right)>1\left(n\in \mathbb{N}^{*} \right)$ 恒成立，即$$q^n<\dfrac{1}{2} \left(n\in \mathbb{N}^{*} \right) $$恒成立，而这又等价于 $q<\dfrac 12$，且 $q^2<\dfrac{1}{2}$．
综上所述，$a_1<0$，且此时公比 $q$ 的取值范围是 $\left(-\dfrac{\sqrt{2} }{2},0\right)\cup\left(0,\dfrac 12\right)$，所以选B．
题目
答案
解析
备注
